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Ecuaciones Diferenciales
Es aquella que involucra derivadas (o diferenciales). se clasifican según el tipo de derivadas qué contiene y el orden de las mismas.
Orden de una Ecuación Diferencial
Es el orden de la derivada de más alto orden que aparece en la ecuación diferencial.
Grado de una ecuación diferencial
Es el grado de mayor orden que aparece una ecuación diferencial.
Solución de una Ecuación Diferencial
Es aquella función que, para sustituir la una ecuación diferencial, dicha ecuación se satisface.
Método de eliminación de constantes arbitrarias
Dada una relación que involucra dos variables en la cual aparecen constantes arbitrarias, se determina la ecuación diferencial de la cuál es la solución. dichas constantes deben eliminarse, para la cual se derivará tantas veces como constantes arbitrarias se tengan en la relación.
familia de curvas
una relación entre dos variables que contiene un parámetro representa una familia de curvas, la cual está compuesta por las curvas correspondientes obtenidas cuando se le asignan valores diferentes ha dicho parámetro.
método de variables separables
Si una ecuación diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 puede expresarse de la forma M(x)dx+N(y)dy=0, se dice que es de variables separables para obtener su solución solamente se Integra.
método de ecuaciones diferenciales de coeficientes homogéneos
se dice que una función f(x,y) es homogénea si al sustituir "x" por la tx y "y" por ty nos queda f(tx,ty) = t^nf(x,y) dónde n es el grado de la función.
método de ecuaciones diferenciales exactas
Una ecuación diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta si existe una función f(x,y) porque la diferencial total de dicha función es igual a la ecuación diferencial.
método de ecuaciones diferenciales lineales
La ecuación diferenciales de la forma dy+P(x)ydx=Q(x)dx esta es una ecuación diferencial de primer orden y lineal en "y"
si la ecuación diferencial de la forma dx+P(y)xdy=Q(y)dy lineal en "x"
factor integrante en "y": U=e^Sp(x)dx
factor integrante en "x": U=e^Sp(y)dy
método de ecuaciones diferenciales de bernoulli
la ecuación diferencial, dy+P(x)ydx=Q(x)y^ndx
dónde n es cualquier número real coma se conoce como ecuación de bernoulli. este tipo de ecuaciones pueden transformarse una ecuación diferencial lineal mediante el cambio de variable.
lineal en "x" dx+P(y)xdy=Q(y)x^ndy
lineal en y: V=y^(1-n)
lineal en x: V=x^(1-n)
ecuaciones diferenciales con coeficientes lineales
ecuación diferencial con coeficientes lineales es de la forma (a1x+b1y+C1)dx+(a2+b1y+C2)dy=0 la cual es deducible a una ecuación diferencial de coeficientes homogéneos mediante un cambio de variable, de manera que las ecuaciones resultan términos constantes como C1 y C2
si se hace el cambio de variable U=x-h y V=-K+y se tiene que du=dx y dv=dy
(a1U+b1V)du+(a2U+b2V)dv=0
para calcular h,k se establece un sistema de ecuaciones:
a1h+b1k+C1=0
a2h+b2k+C2=0
trayectorias ortogonales
se dice que la curva f(x,y)=0 es ortogonal a la curva g(x,y)=0 si el producto de las pendientes en los puntos de intersección es igual a -1 (recíprocas y de signo contrario)
ecuaciones diferenciales de orden n
expresión de la forma :
a0(x)y^(n)+a1(x)y^(n-1)+...+an(x)y=R(x)
se conoce como pasión diferencial de orden n.
si R(x)=0, la ecuación diferencial se conoce como "homogénea"
ecuación diferencial de orden n tiene n soluciones linealmente independientes como en la solución general se expresa como:
y=C1y1+C2y2+...+Cnyn
método de coeficientes indeterminados
este método se usa para resolver ecuaciones diferenciales de orden n de la forma:
a0y^(n)+a1y^(n-1)+...+any=R(x)
solucionar la suma de una solución homogénea y una solución particular:
y=yh+yp
una solución homogénea (yh) se tiene igualando a cero la función R(x).
la solución particular (yp) se propone considerando R(x) y la solución homogénea yh.
si R(x) no tiene expresiones como las que aparecen en yh, se propone yp como una combinación lineal de R(x) y sus derivadas.
si R(x) qué expresiones como las que aparecen en yh, se considera en caso de raíces repetidas.
método solución de variación de parámetros
si, ay"+by'+cy=R(x) una ecuación diferencial que quiere resolver: yh=C1y1+C2y2 la solución de la ecuación homogénea.
las incógnitas de este sistema son U1' y U2' resolverlo, se integra para obtener U1' y U2' y formar la solución particular yp=U1y1+U2y2