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13 Cartas en este set
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Superficie de Riemann
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Una superficie de Riemann es una variedad conexa bidimensional con cambio de cartas holomorfo
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Toda superficie de Riemann es orientable. ¿Por qué?
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Dado que la derivada de una función holomorfa (vista como transformación de dos variables) posee como determinante la norma al cuadrado de la derivada compleja, entonces nunca es negativa
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Función Analítica entre superficies de Riemann
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Una función f: S1 \to S2 es Analítica cuando para todo punto p en S1 existen cartas \varphi de p y \psi de f(p) tal que la expresión local psi o f o \varphi^-1 es holomorfa
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Sean f y g funciones analíticas entre dos superficies de Riemann. Además tienes una sucesión de puntos distintos entre sí en tu superficie de partida que convergen a un punto en tu superficie de partida. Si f y g son iguales para todos lo términos de la sucesión entonces...
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Existe una vecindad del punto al que converge la sucesión donde f y g coinciden
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Si f es función Analítica y tienes una sucesión de puntos diferentes en tu superficie de partida que converge a un punto en tu superficie de partida y f lleva a toda la sucesión a un solo punto entonces...
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La función f es localmente constante en el punto de convergencia, ie, hay una vecindad del punto de convergencia donde f coincide con la imagen del punto de convergencia.
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Sea f Analítica y No localmente constante en un punto de tu superficie de partida. Entonces
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Existe un abierto del punto de la superficie de partida tal que la imagen de todo subconjunto abierto de ese abierto es abierto, ie, f es localmente abierta.
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Si dos funciones analíticas entre superficies de Riemann son idénticas en una vecindad no vacía entonces...
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Coinciden en toda la superficie
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Si una función Analítica es localmente constante entonces
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Es constante globalmente
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Toda función Analítica No constante entre superficies de Riemann es...
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Una función abierta
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Si tengo una función Analítica y su dominio es una superficie de Riemann compacta entonces...
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O f es sobreyectiva o es constante
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Toda función Analítica que va de la esfera de Riemann al plano complejo es...
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Constante. Pues la esfera de Riemann es compacta entonces f es sobreyectiva o constante. Pero no puede ser sobreyectiva pues la esfera de Riemann "posee un punto más" que no posee el plano complejo
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Si f que va de la esfera de Riemann a sí misma es Analítica, No constante y la preimagen de infinito es infinito, entonces
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f es un polinomio
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Una función que va de la esfera de Riemann a sí misma, no constante es Analítica si y solo sí...
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Es racional.
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